人民检察院作出不予批准逮捕决定，并且通知侦查机关补充侦查的案件，侦查机关在补充侦查后又要求复议的，应当建议侦查机关重新提请批准逮捕。

公安机关没有逮捕的决定权，只能申请检察院批准逮捕。检察院只能做出两种决定：批准逮捕和不批准逮捕，只有在不批准逮捕的时候才能够要求或者建议公安机关补充侦查。

【考点】检察院审查批准逮捕的程序。详解：公安机关没有逮捕的决定权，只能申请检察院批准逮捕。检察院只能做出两种决定：批准逮捕和不批准逮捕，只有在不批准逮捕的时候才能够要求或者建议公安机关补充侦查。

【考点】侦查；逮捕。详解：根据《人民检察院刑事诉讼规则（试行）》第338条规定，作出逮捕决定的人民检察院发现不应当逮捕的，应当撤销逮捕决定，并通知下级人民检察院送达同级公安机关执行，同时向下级人民检察院说明撤销逮捕的理由。根据第349条规定，最高人民检察院、省级人民检察院办理直接受理立案侦查的案件，已经作出不予逮捕的决定，又发现需要逮捕犯罪嫌疑人的，应当重新办理逮捕手续。根据第319条规定，人民检察院作出不批准逮捕决定的，应当说明理由，连同案卷材料送达公安机关执行。需要补充侦查的，应当同时通知公安机关。根据第334条第2款规定，上一级人民检察院作出不予逮捕决定，认为需要补充侦查的，应当制作补充侦查提纲，送达下级人民检察院侦查部门。

【考点】公安机关和检察机关的关系。详解：《刑事诉讼法》第90条规定：公安机关对人民检察院不批准逮捕的决定，认为有错误的时候，可以要求复议，但是必须将被拘留的人立即释放。如果意见不被接受，可以向上一级人民检察院提请复核。上级人民检察院应当立即复核，作出是否变更的决定，通知下级人民检察院和公安机关执行。《人民检察院刑事诉讼规则（试行）》第324条规定：对公安机关提请上一级人民检察院复核的不批准逮捕的案件，上一级人民检察院侦查监督部门应当在收到提请复核意见书和案卷材料后的15日以内由检察长或者检察委员会作出是否变更的决定，通知下级人民检察院和公安机关执行。如果需要改变原决定，应当通知作出不批准逮捕决定的人民检察院撤销原不批准逮捕决定，另行制作批准逮捕决定书。必要时，上级人民检察院也可以直接作出批准逮捕决定，通知下级人民检察院送达公安机关执行。故A项正确，D项错误。《人民检察院刑事诉讼规则（试行）》第325条第1款规定：人民检察院作出不批准逮捕决定，并且通知公安机关补充侦查的案件，公安机关在补充侦查后又提请复议的，人民检察院应当告知公安机关重新提请批准逮捕。公安机关坚持复议的，人民检察院不予受理。可见，B项错误，C项正确，故本题选A、C项。

【考点】补充侦查。详解：《人民检察院刑事诉讼规则（试行）》第304条第2款规定：侦查监督部门办理审查逮捕案件，不另行侦查，不得直接提出采取取保候审措施的意见。故A项正确。《人民检察院刑事诉讼规则（试行）》第380条规定：人民检察院认为犯罪事实不清、证据不足或者遗漏罪行、遗漏同案犯罪嫌疑人等情形，认为需要补充侦查的，应当提出具体的书面意见，连同案卷材料一并退回公安机关补充侦查；人民检察院也可以自行侦查，必要时可以要求公安机关提供协助。可见，B项正确。《人民检察院刑事诉讼规则（试行）》第457条第1款规定：在审判过程中，对于需要补充提供法庭审判所必需的证据或者补充侦查的，人民检察院应当自行收集证据和进行侦查，必要时可以要求侦查机关提供协助；也可以书面要求侦查机关补充提供证据。可见，C项正确。《刑事诉讼法解释》第226条规定：审判期间，合议庭发现被告人可能有自首、坦白、立功等法定量刑情节，而人民检察院移送的案卷中没有相关证据材料的，应当通知人民检察院移送。审判期间，被告人提出新的立功线索的，人民法院可以建议人民检察院补充侦查。可见，D项正确。