专业科目
单选题设函数f（x）在区间[1，＋∞）内二阶可导，且满足条件f（1）＝f′（1）＝0，x＞1时f″（x）＜0，则g（x）＝f（x）/x在（1，＋∞）内（ ）。A 曲线是向上凹的B 曲线是向上凸的C 单调减少D 单调增加
题目
单选题
设函数f（x）在区间[1，＋∞）内二阶可导，且满足条件f（1）＝f′（1）＝0，x＞1时f″（x）＜0，则g（x）＝f（x）/x在（1，＋∞）内（ ）。
A
曲线是向上凹的
B
曲线是向上凸的
C
单调减少
D
单调增加
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相似问题和答案
第1题：
设函数f（x）在点x=a处可导，则函数｜f（x）｜在点x=a处不可导的充分条件是（ ）
A.f（a）=0且f′（a）=0
B.f（a）=0且f′（a）≠0
C.f（a）＞0且f′（a）＞
D.f（a）＜0且f′（a）＜
B.f（a）=0且f′（a）≠0
C.f（a）＞0且f′（a）＞
D.f（a）＜0且f′（a）＜
答案：B
解析：
第2题：
设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，
答案：
解析：
第3题：
设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01xf(x)dx，证明：必有一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)+f(ξ)=0．
第4题：
设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f'(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
A.Af(0)>1，f"(0)>0
B.f(0)>1，f"(0)<0
C.f(0)<1，f"(0)>0
D.f(0)<1，f"(0)<0
B.f(0)>1，f"(0)<0
C.f(0)<1，f"(0)>0
D.f(0)<1，f"(0)<0
答案：A
解析：
第5题：
设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间［0，1］上
A.A当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B.当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C.当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D.当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)
B.当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C.当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D.当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)
答案：D
解析：
由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1-x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f"(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间［0，1］上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故应选(D).
(方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，
则 F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1)，F"(x)=f"(x).当f"(x)≥0时，F"(x)≥0，则曲线y=F(x)在区间［0，1］上是凹的.又F(0)=F(1)=0，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).
(方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，
则 F(x)=f(x)［(1-x)+x］-f(0)(1-x)-f(1)x
=(1-x)［f(x)-f(0)］-x［f(1)-f(x)］
=x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η) (ξ∈(0,x)，η∈(x,1))
=x(1-x)［f'(ξ)-f'(η)］
当f"(x)≥0时，f'(x)单调增，f'(ξ)≤f'(η)，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).
(方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，
则 F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1)，F"(x)=f"(x).当f"(x)≥0时，F"(x)≥0，则曲线y=F(x)在区间［0，1］上是凹的.又F(0)=F(1)=0，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).
(方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，
则 F(x)=f(x)［(1-x)+x］-f(0)(1-x)-f(1)x
=(1-x)［f(x)-f(0)］-x［f(1)-f(x)］
=x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η) (ξ∈(0,x)，η∈(x,1))
=x(1-x)［f'(ξ)-f'(η)］
当f"(x)≥0时，f'(x)单调增，f'(ξ)≤f'(η)，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).
第6题：
设函数f(x)在x＝1处可导，且f'(1)＝0，若f"(1)＞0，则f(1)是（）
A.极大值
B.极小值
C.不是极值
D.是拐点
B.极小值
C.不是极值
D.是拐点
答案：B
解析：
由极值的第二充分条件可知，应选B．
第7题：
设f(x)二阶可导，f(0)= f(1),且f(x)在[0,1]上的最小值为—1.证明：
答案：
解析：
第8题：
设函数f（x）与g（x）在[0，1]上连续，且f（x）≤g（x），且对任何的c∈（0，1）（ ）
答案：D
解析：
第9题：
设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则
A.Af(1)>f(-1)
B.f(1)
D.｜f(1)｜<｜f｜(-1)｜
B.f(1)
D.｜f(1)｜<｜f｜(-1)｜
答案：C
解析：
第10题：
设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x-1)，x∈［0，2］，则f(7)=________.
答案：1、1.
解析：
由f'(x)=2(x-1)，x∈［0，2］知，f(x)=(x-1)^2+C.又f(x)为奇函数，则f(0)=0,C=-1.f(x)=(x-1)^2-1.由于f(x)以4为周期，则f(7)=f［8+(-1)］=f(-1)=-f(1)=1.