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单选题设n维向量组（Ⅰ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性无关，且α(→)i不能由（Ⅱ）线性表示（i＝1，2，…，s），且β(→)j不能由（Ⅰ）线性表示（j＝1，2，…，t），则向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t（ ）。A 一定线性相关B 一定线性无关C 可能线性相关，也可能线性无关D 既不线性相关，也不线性无关
题目
单选题
设n维向量组（Ⅰ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性无关，且α(→)i不能由（Ⅱ）线性表示（i＝1，2，…，s），且β(→)j不能由（Ⅰ）线性表示（j＝1，2，…，t），则向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t（ ）。
A
一定线性相关
B
一定线性无关
C
可能线性相关，也可能线性无关
D
既不线性相关，也不线性无关
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相似问题和答案
第1题：
设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。
A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s
答案：A
解析：
由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即
第2题：
单选题
设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（ ）.
A
向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B
向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C
向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价
D
矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m
正确答案：
C
解析：
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．
第3题：
设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明：向量β为零向量.
答案：
解析：
第4题：
单选题
设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（ ）。[2012年真题]
A
β必可用α1，α2线性表示
B
α1必可用α2，α3，β线性表示
C
α1，α2，α3必线性无关
D
α1，α2，α3必线性相关
正确答案：
B
解析：
由α1，α2，β线性相关知，α1，α2，α3，β线性相关。再由α2，α3，β线性无关， α1必可用α2，α3，β线性表示。
由α1，α2，β线性相关知，α1，α2，α3，β线性相关。再由α2，α3，β线性无关， α1必可用α2，α3，β线性表示。
第5题：
单选题
n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充要条件是（ ）。
A
存在不全为0的k1，k2，…，ks使klα1＋k2α2＋…＋ksαs≠0
B
添加向量β后，α1，α2，…，αs，β线性无关
C
去掉任一向量αi后，α1，α2，…，αi－1，αi＋1，…，αs线性无关
D
α1，α2－α1，α3－α1，…，αs－α1线性无关
正确答案：
C
解析：
D项，相当于对α1，α2，…，αs构成的矩阵作初等变换，初等变换不改变向量组的秩和向量组的线性相关性。
D项，相当于对α1，α2，…，αs构成的矩阵作初等变换，初等变换不改变向量组的秩和向量组的线性相关性。
第6题：
设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（）。
- A、β必可用α1，α2线性表示
- B、α1必可用α2，α3，β线性表示
- C、α1，α2，α3必线性无关
- D、α1，α2，α3必线性相关
正确答案:B
第7题：
单选题
n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。
A
α1，α2，…，αs中没有零向量
B
向量组的个数不大于维数，即s≤n
C
α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
D
某向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一
正确答案：
D
解析：
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。
第8题：
设矩阵
，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_________.
，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_________.答案：1、2.
解析：
因(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)，又α，α，α是三维线性无关列向量，所以(α1，α2，α3)为三阶可逆矩阵故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A)=2.
第9题：
单选题
设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（ ）。
A
必定r＜s
B
向量组中任意个数小于r的部分组线性无关
C
向量组中任意r个向量线性无关
D
若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关
正确答案：
A
解析：
A项，r可能与s相等；
B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。
A项，r可能与s相等；
B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。
第10题：
单选题
设向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3线性无关，向量β(→)1可由α(→)1，α(→)2，α(→)3线性表示，而向量β(→)2不能由α(→)1，α(→)2，α(→)3线性表示，则对任意常数，必有（ ）。
A
α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关
B
α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关
C
α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关
D
α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关
正确答案：
D
解析：
取k＝0则可排除B，C选项，取k＝1则可排除D选项。或根据定义证明α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关。
取k＝0则可排除B，C选项，取k＝1则可排除D选项。或根据定义证明α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关。