数学
问答题设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性表示，但不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示，证明： （1）α(→)r不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示； （2）α(→)r能由α(→)1，α(→)2，…，α(→)r，β(→)线性表示。
题目
问答题
设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性表示，但不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示，证明： （1）α(→)r不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示； （2）α(→)r能由α(→)1，α(→)2，…，α(→)r，β(→)线性表示。
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相似问题和答案
第1题：
设向量组的秩为r，则：
A.该向量组所含向量的个数必大于r
B.该向量级中任何r个向量必线性无关，任何r+1个向量必线性相关
C.该向量组中有r个向量线性无关，有r+1个向量线性相关
D.该向量组中有r个向量线性无关，任何r+1个向量必线性相关
B.该向量级中任何r个向量必线性无关，任何r+1个向量必线性相关
C.该向量组中有r个向量线性无关，有r+1个向量线性相关
D.该向量组中有r个向量线性无关，任何r+1个向量必线性相关
答案：D
解析：
提示：设该向量组构成的矩阵为A，则有R（A）=r，于是在A中有r阶子式 Dr≠0，那么这r阶子式所在列（行）向量组线性无关。又由A中所有r + 1阶子式均为零，则可知A 中任意r+1个列（行）向量都线性相关，故正确选择为选项D。
第2题：
设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。
A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s
答案：A
解析：
由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即
第3题：
设向量组I：α1，α2，
αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。
A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
正确答案：D
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。
第4题：
问答题
在n维行向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r（r≥2）中，α(→)r≠0，试证：对任意的k1，k2，kr－1，向量组β(→)1＝α(→)1＋k1α(→)r，β(→)2＝α(→)2＋k2α(→)r，…，β(→)r－1＝α(→)r－1＋kr－1α(→)r线性无关的充要条件是α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性无关。
正确答案：
(1)必要性
设l1β1+l2β2+…+lr-1βr-1=0①,即l1(α1+k1αr)+l2(α2+k2αr)+…+lr-1(αr-1+kr-1αr)=0⇒l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)αr=0
记l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1=lr得
l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+lrαr=0②
因为β1,β2,…,βr-1线性无关,所以当且仅当l1=l2=…=lr-1=0时①式成立,即②也成立。又因为αr≠0,所以当且仅当l1=l2=…=lr-1=lr=0时②成立,故α1,α2,…,αr线性无关。
(2)充分性
设l1β1+l2β2+…+lr-1βr-1=0,即l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)αr=0。
因为α1,α2,…,αr线性无关,所以l1=l2=…=lr-1=(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)=0,故β1,β2,…,βr-1线性无关。
(1)必要性
设l1β1+l2β2+…+lr-1βr-1=0①,即l1(α1+k1αr)+l2(α2+k2αr)+…+lr-1(αr-1+kr-1αr)=0⇒l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)αr=0
记l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1=lr得
l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+lrαr=0②
因为β1,β2,…,βr-1线性无关,所以当且仅当l1=l2=…=lr-1=0时①式成立,即②也成立。又因为αr≠0,所以当且仅当l1=l2=…=lr-1=lr=0时②成立,故α1,α2,…,αr线性无关。
(2)充分性
设l1β1+l2β2+…+lr-1βr-1=0,即l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)αr=0。
因为α1,α2,…,αr线性无关,所以l1=l2=…=lr-1=(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)=0,故β1,β2,…,βr-1线性无关。
解析：
暂无解析
第5题：
单选题
n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（ ）。
A
存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα1＋k2α2＋…＋ksαs≠0
B
α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关
C
α1，α2，…，αs中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D
α1，α2，…，αs中任何一个向量都不能由其余向量线性表示
正确答案：
C
解析：
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。
第6题：
设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则
A.当r
C.当r
C.当r
答案：D
解析：
第7题：
单选题
设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（ ）.
A
向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B
向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C
向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价
D
矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m
正确答案：
C
解析：
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．
第8题：
设向量组Ⅰ
可由向量组Ⅱ
:线性表示,下列命题正确的是( )
可由向量组Ⅱ:线性表示,下列命题正确的是( )
A.若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s
B.若向量组Ⅰ线性相关,则r大于s
C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s
B.若向量组Ⅰ线性相关,则r大于s
C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s
答案：A
解析：
第9题：
单选题
设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r（Ⅰ）是向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（Ⅱ）的部分线性无关组，则（ ）。
A
（Ⅰ）是（Ⅱ）的极大线性无关组
B
r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）
C
当（Ⅰ）中的向量均可由（Ⅱ）线性表示时，r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）
D
当（Ⅱ）中的向量均可由（Ⅰ）线性表示时，r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）
正确答案：
D
解析：
题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）＝r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）。
题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）＝r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）。
第10题：
单选题
设向量组（I）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，其秩为r1；向量组（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)s，其秩为r2，且β(→)i（i＝1，2，…，s）均可以由α(→)1，…，α(→)s线性表示，则（ ）。
A
向量组α1＋β1，α2＋β2，…，αs＋βs的秩为r1＋r2
B
向量组α1－β1，α2－β2，…，αs－βs秩为rl－r2
C
向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为rl＋r2
D
向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为rl
正确答案：
C
解析：
向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，则向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs也可由其线性表示，所以α1，α2，…，αs向量组的极大线性无关组也是该向量组的极大线性无关组，故其秩为rl。
向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，则向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs也可由其线性表示，所以α1，α2，…，αs向量组的极大线性无关组也是该向量组的极大线性无关组，故其秩为rl。