数学
问答题设A=E-ααT，其中E是n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，αT是α的转置.证明：（1）A2=A的充要条件是αTα=1；（2）当αTα=1时，A是不可逆矩阵.
题目
问答题
设A=E-ααT，其中E是n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，αT是α的转置.证明：（1）A2=A的充要条件是αTα=1；（2）当αTα=1时，A是不可逆矩阵.
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相似问题和答案
第1题：
设A、B都是n阶可逆矩阵，则
A. (-3)n A B -1
B. -3 A T B T
C. -3 A T B -1
D. (-3)2n A B -1
A. (-3)n A B -1
B. -3 A T B T
C. -3 A T B -1
D. (-3)2n A B -1
答案：D
解析：
第2题：
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，
答案：
解析：
第3题：
●已知有二维数组A［0．．n-1］［0．．n-1］，其中当i+j=n时，A［i］［j］≠0，现在要将A数组压缩存储到一维数组T［0..m］，其中m>n。数组T的第一个元素T［0］=A［1］［n-1］ T［1］=A［2］［n-2］，……，依次类推，那么放入A［i］［j］(i+j=n)的元素是 (37) 。
(37) A．T［i+j］
B．T［i*n+j］
C．T［i］
D．T［i-1］
正确答案：D
【解析】由题可知，除第0行外，每一行只存储一个元素，因此i行应存放在T［i-1］之中。
【解析】由题可知，除第0行外，每一行只存储一个元素，因此i行应存放在T［i-1］之中。
第4题：
设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
A.AE-AA^T不可逆
B.E+AA^T不可逆
C.E+2AA^T不可逆
D.E-2AA^T不可逆
B.E+AA^T不可逆
C.E+2AA^T不可逆
D.E-2AA^T不可逆
答案：A
解析：
A=αα^T是秩为1的矩阵，又α为单位列向量，有α^Tα=1.故矩阵A的特征值为1，0，…，0(n-1个)所以E-αα^T的特征值为0，1，…，1(n-1个)因此矩阵E-αα^T不可逆.应选(A)
第5题：
设A是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A^2－3A=O,设（1,1,-1）t为A的非零特征值对应的特征向量.(1)求A的特征值；(2)求矩阵A.
答案：
解析：
第6题：
设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.
答案：
解析：
第7题：
设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明：A不可以相似对角化.
答案：
解析：
第8题：
已知有二维数组A[0..n-1][0..n-1]，其中当i+j=n时，A[i][j]≠0，现在要将A数组压缩存储到一维数组T[0..m]，其中m＞n。数组T的第一个元素T[0]=A[1][n-1] T[1]=A[2][n-2]，……，依次类推，那么放入A[i][j](i+j=n)的元素是(37)。
A．T[i+j]
B．T[i*n+j]
C．T[i]
D．T[i-1]
正确答案：D
解析：由题可知，除第0行外，每一行只存储一个元素，因此i行应存放在T[i-1]之中。
解析：由题可知，除第0行外，每一行只存储一个元素，因此i行应存放在T[i-1]之中。
第9题：
设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置.证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)<2.
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)<2.
答案：
解析：
【证明】(Ⅰ)因为α，β为三维列向量，那么αα^T和ββ^T都是三阶矩阵，
且秩r(αα^T)≤1，r(ββ^T)≤1.
那么，r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2.
(Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ，于是
r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r((1+k^2)ββ^T)≤r(β)≤1<2.
【评注】本题考查矩阵秩的性质公式.
(Ⅰ)中有两个基本知识点：①r(αα^T)≤1和②r(A+B)≤r(A)+r(B).
(Ⅱ)中有两个基本知识点：①α，β线性相关的几何意义和②r(kA)=r(A)，k≠0.
注意，如果分块矩阵比较熟悉，本题的(Ⅰ)也可如下处理：
因为
那么
从而r(A)≤2.
且秩r(αα^T)≤1，r(ββ^T)≤1.
那么，r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2.
(Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ，于是
r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r((1+k^2)ββ^T)≤r(β)≤1<2.
【评注】本题考查矩阵秩的性质公式.
(Ⅰ)中有两个基本知识点：①r(αα^T)≤1和②r(A+B)≤r(A)+r(B).
(Ⅱ)中有两个基本知识点：①α，β线性相关的几何意义和②r(kA)=r(A)，k≠0.
注意，如果分块矩阵比较熟悉，本题的(Ⅰ)也可如下处理：
因为
那么
从而r(A)≤2.
第10题：
设α为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-αα^T的秩为________.
答案：
解析：