金融数学
单选题一个保守的决策者具有财富10万元，他的效用函数u（x）=x－0.02x2，0≤x≤25，这个决策者有机会用5万元进行投资，投资收益可以以0.5的概率获得20万元，或者一无所获。下列说法中正确的是（ ）。（1）决策者不会进行投资；（2）如果决策者有6万元的财富，他将进行投资；（3）如果决策者投资6万元，他将有正的收益。A （1）B （1）（2）C （1）（3）D （2）（3）E （1）（2）（3）
题目
（1）
（1）（2）
（1）（3）
（2）（3）
（1）（2）（3）
参考答案和解析
（1）决策者不进行投资时的效用价值为：
u（10）=x－0.02x2｜x＝10=8
决策者的财富在投资后的效用价值为：
E[u（10－5+X）] =E[u（5+X）]
=0.5×（5+x－0.02（5+x）2）｜x=20+0.5×（5+x－0.02（5+x）2）｜x=0
=0.5×（25－0.02×252）+0.5×（5－0.02×52）
=8.5，
即 E（u（10－5+X））＞u（10），决策者将会选择投资；
（2）如果决策者有6万元的财富，则决策者不进行投资时的效用价值为：
u（6）=x－0.02x2｜x＝6=5.28
投资后决策者的效用价值为：
E[u（6－5+X）]=E[u（1+X）]
=0.5×（1－0.02）+0.5×（21－0.02×212）
=6.58，
即 E[u（6－5+X）]＞u（6），决策者将会选择投资；
（3）在决策者投资6万元的情况下，则：
E[u（10－6+X）]=E[u（4+X）]
=0.5×（4－0.02×42）+0.5×（24－0.02×242）
=8.08＞u（10）=8，
即投资6万元有正的收益。
相似问题和答案
第1题：
某企业准备投资开发新产品，现有甲、乙两个方案可供选择，经预测，甲、乙两个方案的预期投资
收益率如下表所示： 预期投资收益率 市场状况 概率 甲方案 乙方案 繁荣 O.40 32% 40% 一般 O.40 17% 15% 衰退 O.20 一3% 一15%
要求：
（1）计算甲、乙两个方案预期收益率的期望值；
（2）计算甲、乙两个方案预期收益率的标准离差；
（3）计算甲、乙两个方案预期收益率的标准离差率；
（4）假设无风险收益率为5%，与新产品风险基本相同的某产品的投资收益率为13%，标准离差率为O．8。计算甲、乙方案的风险收益率与投资的必要收益率，并判断是否值得投资；
（5）若企业的决策者是风险回避者，他会如何评价甲、乙方案?
（6）若企业的决策者是风险追求者，他会如何评价甲、乙方案?
（7）若企业的决策者是风险中立者，他会如何评价甲、乙方案?
甲方案预期收益率的期望值＝O.4×32%+O.4×17%+O.2×(－3%)＝19%
乙方案预期收益率的期望值=0.4×40%+O.4×15%+O.2×(－15%)=19%
乙方案预期收益率的期望值=0.4×40%+O.4× 15%+O.2×(－15%)=19%
乙方案预期收益率的期望值=0.4×40%+O.4× 15%+O.2×(－15%)=19%
(2)
(3)甲方案标准离差率=12.88%÷19%=O.68
乙方案标准离差率＝20.35%÷19%＝1.07
(4)风险价值系数＝(13%－5%)÷O.8＝O.1
甲方案的风险收益率＝0.1×O.68＝6.8%
乙方案的风险收益率＝0.1×1.07＝10.7%
甲方案的投资必要收益率＝5%+6.8%＝11.8%
乙方案的投资必要收益率＝5%+10.7%＝15.7%
由于甲、乙方案的投资必要收益率均小于预期收益率的期望值(19%)，所以，均值得投资。
(5)风险回避者的决策原则是预期收益率相同时，选择风险小的方案；风险相同时，选择预期收益率高的。本题中，甲、乙两个方案的预期收益率相同，但甲方案的风险小，所以，风险回避者会认为甲方案优于乙方案。
(6)风险追求者的决策原则是：当预期收益相同时，选择风险大的。因此，他会认为乙方案优于甲方案。
(7)风险中立者的决策原则是：选择资产的惟一标准是预期收益的大小，而不管风险状况如何。因此，他会认为两个方案等效。
第2题：
人民币元/美元，即期汇率是6.8606/6.8712，目前1年期远期汇率是6.5201/6.5812人民币元/美元，中国市场利率为5%，美国市场利率为3%。如果某投资者有100万人民币资金可以用于投资，那么对其合理的投资建议是( )。
A．建议他在国内投资，收益额为5万元
B．建议他在国内投资，收益额为-2.26万元
C．建议他在美国投资，收益额为2.26万元
D．建议他在美国投资，收益额为-5万元
解析：①以人民币投资可获得收益=100×5%=5(万元)；②以美元投资可获得收益=100÷6.8712×(1+3%)×6.5201-100=-2.26(万元)；所以，建议该投资者在国内投资。
第3题：
A.方案2与方案1相比，增量投资收益率为10%
B.方案2与方案1相比，在经济上可行C.方案2比方案1投资高出50%，超过基准收益率，经济上不可行
D.当基准投资收益提高为15%时，方案2优于方案1
E.当基准投资收益率降低为8%时，方案1优于方案2
第4题：
B.2/15
C.4/5
D.2/3
第5题：
42 ．小王和小李合作投资，年终每人的投资进行分红，小王取了全部的1/3另加 9 万元．小李取剩余1/3和剩下的14万元。问小王比小李多得多少万元？
A 2 B 3 C 4 D 5
第6题：
小王和小李合作投资，年终每人的投资进行分红，小王取了全部的1/3另加9万元．小李取剩余1/3和剩下的14万元。问小王比小李多得多少万元？ （ ）
A .2
B. 3
C .4
D. 5
42．B【解析】小李取剩下的1/3和剩下的14万元，即说明小李获得了14×3/2=21万元。 又因为小王取了全部的1/3另加9万元，所以分红共有(21+9)×3/2- 45万元。因此小王获得了45- 21=24万元，所以小王比小李多得24- 21=3万元。
第7题：
某公司 2003 年生产成本 24 万元，销售费用 6 万元，管理费用 2 万元，财务费用 1万元，折旧费 3 万元，维检费 0．5 万元，摊销费 1 万元，利息支出 3 万元，则该年度该公司的经营成本是( )。
A．24+6+2+1-3-0．5-1-3=25．5(万元)
B．24+6+2+1+3+0．5+l+3=40．5(万元)
C．24-6-2-1+3+0．5+1+3=2．5(万元)
D．24-6-2-1-3-0．5-1-3=7．5(万元)
第8题：
甲公司2004年1月1日以450万元购入乙公司股票进行长期投资，取得乙公司20%的股权。当日，乙公司的净资产为2 000万元，甲公司的股，权投资差额按5年进行摊销。2006年1月1日，甲公司又以400万元对乙公司进行追加投资，取得乙公司15%的股份，乙公司当日的净资产为3 000万元。甲公司在第二次追加投资时应确认的资本公积是( )万元。
A．50
B．0
C．80
D．20
解析：2004年初次投资时的股权投资差额＝450-2000×20%＝50(万元)．每年摊销额＝50÷5＝10(万元)，追加投资时产生的股权投资差额为400-3000×15%＝-50(万元)，追加投资时，原投资未摊销的股权投资差额=50-10×2＝30(万元)，计入“资本公积——股权投资准备”的金额＝50-30＝20(万元)。
第9题：
郑慧是某银行财富中心的理财师，在与客户王哲的交谈中了解到他的一些理财目标，其中不合理的是( )。 (1)他想在40岁时成为一个有钱人 (2)他想在30岁时进行购房规划，在35岁时进行子女教育金规划，在55岁时进行退休规划 (3)他准备8年后买个首付50万元的别墅，现在开始每月存4500元钱 (4)他现在有30万元现金准备进行投资，希望10年后获得60万元
A．(1)(4)
B．(2)(3)
C．(3)(4)
D．(1)(2)
解析：合理的理财目标必须具有明确性、可行性、现实性、可衡量性以及时限性。(1)中“有钱人”不够明确；(2)中“在55岁时进行退休规划”的目标有些过晚；(3)中需要的投资报酬率为4%左右，比较合理；(4)中需要的投资报酬率为7.2%左右，较为合理。
第10题：
得x= 8000 故要使TU最大，应投资8000元。 (2)设保费为y元。 当发生灾害时，王先生损失8000元，保险公司的收益为（y - 8000）元。 当没有发生灾害时，保险公司收益y元。 故期望收益为0.1×（y - 8000）+0.9y，因为保险市场是完全竞争的，故期望收益为0，故y= 800。 因此保费为800元。