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(10分)如图，几何体A1B1C1-ABC中，AB=AC，AB⊥AC，棱AA1，BB1，CC1都垂直于面ABC，BC=AA1=2BB1=2CC1=4，D为B1C1的中点，E为A1D的中点。 求证：(1)AE⊥BC；(3分) (2)求异面直线AE与DC所成角的余弦值。(7分)
题目
(10分)如图，几何体A1B1C1-ABC中，AB=AC，AB⊥AC，棱AA1，BB1，CC1都垂直于面ABC，BC=AA1=2BB1=2CC1=4，D为B1C1的中点，E为A1D的中点。
求证：(1)AE⊥BC；(3分)
(2)求异面直线AE与DC所成角的余弦值。(7分)
求证：(1)AE⊥BC；(3分)
(2)求异面直线AE与DC所成角的余弦值。(7分)
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相似问题和答案
第1题：
在 △ABC中，∠C=90°，AB=10。（1）∠A=30°，求BC，AC（精确到0.01）；（2）∠A=45°，求BC，AC（精确到0.01）。
第2题：
在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（ ）。
A．2.5
B．5
C．10
D．15
正确答案：A
分析：由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是ABC的中位线，根据中位线定理可知，DE＝BC＝
2.5。
涉及知识点：中位线
点评：本题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半。
推荐指数：★★
分析：由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是ABC的中位线，根据中位线定理可知，DE＝BC＝
2.5。涉及知识点：中位线
点评：本题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半。
推荐指数：★★
第3题：
△ABC中，AB=3，BC=4，则AC边的长满足（ ）。
A．AC=5
B．AC>1
C．AC<7
D．1<AC<7
正确答案：D
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，BC-AB=1，BC+AB=7，所以1<AC<7。
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，BC-AB=1，BC+AB=7，所以1<AC<7。
第4题：
如图2-7所示，三棱镜ABC，∠A=30°.光线垂直AB面射入棱镜，由AC面射出.已知出射光与入射光的夹角为30°.在Ac面上光线的入射角是（），棱镜的折射率是（）.
答案：
解析：
30°1．73 【解题指要】本题的考点是光的反射定律和折射定律．
光线经过两次折射，第一次在AB面上，第二次在AC面上，在AB面上垂直入射，入射角为
零，折射角也为零．此折射光线是AC面上的入射光．它与AC面的夹角为
90°－∠A=90°－30°=60°
因此，AC面上光线的入射角是
θi=90°－60°=30°
由图2-15知，光线在AC面上折射后的折射光（即出射光）与AC面法线的夹角（即折射角）为
θr=30°+30°=60°
再根据折射定律
知棱镜的折射率为
注意，考生在解题时应在图2-7中把AC面上通过入射点的AC的垂线，即AC面的法线画出，这样根据几何关系可以明确求出折射角θr(见图2-15)．
光线经过两次折射，第一次在AB面上，第二次在AC面上，在AB面上垂直入射，入射角为
零，折射角也为零．此折射光线是AC面上的入射光．它与AC面的夹角为
90°－∠A=90°－30°=60°
因此，AC面上光线的入射角是
θi=90°－60°=30°
由图2-15知，光线在AC面上折射后的折射光（即出射光）与AC面法线的夹角（即折射角）为
θr=30°+30°=60°
再根据折射定律
知棱镜的折射率为
注意，考生在解题时应在图2-7中把AC面上通过入射点的AC的垂线，即AC面的法线画出，这样根据几何关系可以明确求出折射角θr(见图2-15)．
第5题：
试用卡诺图化简如下逻辑函数式。(1) Y1=ABC＋ABC－＋B－(2) Y2=A＋AB－C＋AB(3) Y3=AC－＋AB－＋AB(4) Y4=AB－C－＋AC－＋C
答案：(1) Y1=ABC+ABC+B
(2) Y2=A+ABC+AB
(3) Y3=AC+AB+AB
(4) Y4=ABC+AC+C
(2) Y2=A+ABC+AB(3) Y3=AC+AB+AB(4) Y4=ABC+AC+C
第6题：
△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.求AC
第7题：
试证明如下逻辑函数等式。(1) AB－＋AB－C=AB－;(2) AB(C＋C－)＋AC=AB＋AC;(3) A(BC＋BC)＋AC=A(BC)＋AC
答案：(1)左边=AB+ABC=AB(1+C)=AB=右边(2)左边=AB(C+C)+AC=AB+AC=右边(3)左边=A(BC+BC)+AC=A(BC)+AC=右边
第8题：
有如下嵌套的if语句： if(a<b) if(a<c)k=a； else k=C： else if(b<c)k=b； else k=C； 以下选项中与上述if语句等价的语句是（ ）。
A.k=(a<b)?a：b；k=(b<c)?b：C；
B.k=(a<b)?((b<c)?a：b)：((b>c)?b：c)；
C.k=(a<b)?((a<c)?a：c)：((b<c)?b：c)；
D.k=(a<b)?a：b；k=(a<c)?a：c；
正确答案：C
条件运算符(?：)是C语言中唯一的一个三目运算符，它是对第一个表达式做真／假检测，然后根据结果返回两个表达式中的一个作为运算的结果。<表达式1>?<表达式2>：<表达式3>。在运算中，首先对第一个表达式进行检验，如果为真，则返回表达式2的值；如果为假，则返回表达式3的值。
条件运算符(?：)是C语言中唯一的一个三目运算符，它是对第一个表达式做真／假检测，然后根据结果返回两个表达式中的一个作为运算的结果。<表达式1>?<表达式2>：<表达式3>。在运算中，首先对第一个表达式进行检验，如果为真，则返回表达式2的值；如果为假，则返回表达式3的值。
第9题：
设A、B、C为随机事件，则( )。
A.P(A-B-C)=P(A)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
B.P(A-B-C)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)
C.P(A-B-C)=P(A)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)
D.P(A-B-C)=P(A)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
B.P(A-B-C)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)
C.P(A-B-C)=P(A)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)
D.P(A-B-C)=P(A)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
答案：B
解析：
第10题：
如图,D是△ABC内的一点，BD⊥CD，AD=6，BD=8，CD=6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD， BD的中点．则四边形EFGH的周长是()。
A.12
B.14
C.15
D.16
B.14
C.15
D.16
答案：D
解析：
因为BD⊥CD，BD=8，CD=6，由勾股定理可知BC=10。由三角形中位线定理可知EH=FG=
