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国家开放大学电大《微积分初步》期末试题题库及答案

设函数f(x)的定义域是(0,1),那么f(x＋1)的定义域是()。

A.(0，1)

B.(-1，0)

C.(1，2)

D.(0，2)


答案：B

以下结论正确的是()。

A、若x0为函数y=f(x)的驻点,则x0必为函数y=f(x)的极值点.

B、函数y=f(x)导数不存在的点,一定不是函数y=f(x)的极值点.

C、若函数y=f(x)在x0处取得极值,且f′(x)存在,则必有f′(x)=0.

D、若函数y=f(x)在x0处连续,则y=f′(x0)一定存在.


参考答案：C

函数y=ln(1+x2)的驻点为x=______．


答案：
解析：
填0．

函数y=(x)在点x=0处的二阶导数存在，且'(0)=0，"(0)>0，则下列结论正确的是()．

A.x=0不是函数(x)的驻点
B.x=0不是函数(x)的极值点
C.x=0是函数(x)的极小值点
D.x=0是函数(x)的极大值点

答案：C
解析：
根据极值的第二充分条件，可知C正确．

函数(x)=ln(x2+2x+2)的单调递减区间是（）

A.(-∞，-1)
B.(-1，0)
C.(0，1)
D.(1，+∞)

答案：A
解析：
【考情点拨】本题考查了函数的单调递减区间的知识点．

最新国家开放大学电大微积分初步期末试题题库及答案盗传必究题库一 一、填空题（每小题4分，本题共20分）1.函数/(x + 1) = x2+2x + 7,则/(%)=.sin 3x2.limx3. 曲线y = x2在点(I, I)处的切线的斜率是.fl24. J (sinxcos2x-x )dx =5. 微分方程9 +（y）4 cosx = e*的阶数为二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1 .函数/（x） = 1的定义域是（） ln（x-l）A. (l,+oo)B. (0,1)顷1,+8)c(1,2)52,+8)D. (0,2)u(2,+oo)2.当k=（）时，函数/（x）=31xsin + 1,xk.A。在x = 0处连续. x = 0A. 0B. 1C. 2D. -13. 下列结论中正确的是（）A. X。是/3）的极值点，则知必是/的驻点B. 使fx）不存在的点x0 一定是/3）的极值点C. 若r（xo） = O,则Xo必是，的极值点DX。是/（）的极值点，旦/（X。）存在，则必有/r（xo） = O4. 若函数 /（x） = x + 0）,贝0 J /（x）dx=（）.A. x + Vx + c1 2 2 |B. x + x2 +c2 3C. x2 +x + c3 1D. x2 + x2 +c25. 微分方程* = 0的通解为（）A. y = 0B. y - cC. y = x + cD. y = ex三、计算题（本题共44分，每小题11分）1 计算极限Iim-V-5V + 6 .13 X2 -92. 设 y = x4x + cos3x，求.3. 计算不定积分j x sin xdx4. 计算定积分jex（l + ex）2dx四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为411?的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问 水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？试题答案及评分标准（仅供参考）一、填空题（每小题4分，本题共20分）9121. x +62.33.4. 5. 22 3二、单项选择题（每小题4分，木题共20分）l.c2.B3.D4.A5.B三、计算题(本题共44分，每小题11分)1 占卜 i(x 2)(x 3) r x 2111分9分11分11分1 解：原式=lim- =lim=-a (x + 3)(% -3) 13 x + 363 -.2. 解：yr = x2 -3sin3x23 -dy = ( x2 -3sin3x)dx3. 解：Jx sinxdx = -x cos x + J cos xdx = -x cos x + sinx + c4. 解：+ e2 一2工一32. 函数y =-一的间断点是二ox + 13. 函数y = 3(x + l)2的单调增加区间是 o4. 若 J/(x)dx = sin2x + c ,则/(x)=。5. 微分方程(yrr)3+4xym = y5 sinx的阶数为，)2dx = J：(i + ex)2d(l + e) = -(l + ex)3 =11 分003o 3四、应用题(本题16分)4解：设水箱的底边长为X,高为h,表面积为S,且有h = -x2所以 S = x2+4xh=x2 + ,Xb 016S = 2x -x令S = 0,得x = 2,10 分 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x = 2,h = 1时水箱的表面积最小.16分此时的费用为 51 xl0+40=160 (元)I x=2题库二一、填空题(每小题4分，本题共20分)1. 函数f(x = 1 + V4-X2的定义域是ln(x + l)二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）wx + i（r1 .设函数=-,则该函数是（A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既奇又偶函数2. 当XT 0时，下列变量中为无穷小量的是（A.B.xsinxC.ln(l + x)D.3. 设 y = lg2x 则 dy =(A.dx 2xB.dx XC.In 10 、dxxD.Jdx xlnlO4.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（A.y = x2 +1B.C.D.5. 微分方程V = y +1的通解是（）oA. y = Cex 1nCr-lB. y = eC. y = x + C1 7D. y = -X2+C2三、计算题（本题共44分，每小题11分）盘 + 4x 51. 计算极限lim ?i x2 -5x + 42. 设y = e +lnx,求 0。1cos3 .计算不定积分X4 .计算定积分gxedx。四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?试题答案及评分标准（仅供参考）一、填空题（每小题4分，本题共20分）1. （一 1,0） D （0,22. x = -13. 一 1,+8）4. 2cos 2x 5. 3二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1. B2. C3. D4. C 5. A三、（本题共44分，每小题11分）1. 解：原式=1血3 + 5）（-1）=而皿=_。= _2n 分（x - 4）（x -1） I x - 432. 解：y = e+ 19 分2jx+l xe同 1dy = (+)dx11 分2Vx + l X1COS1113.解：Jx jr 1 j 1.1x2-ax= - cos d = -sm + cxxx11 分4-解：J*dx = “：-Jdx = e-1=1011分四、应用题（本题16分）解：设底边的边长为x,高为h,用材料为y ,由已知x2h = 32 9h= Xy = x4xh=x2+4x=x2 XX1 OQ%令y = 2x-卡 =0,解得x = 4是惟一驻点，易知x = 4是函数的极小值点，此时有入=东=2,所以当x = 4, h = 2时用料最省。16分题库三 一、填空题（每小题4分，本题共20分）1. 函数/(x 1)=工2_2工 + 7,贝0/(%)=c 1- sinx2. hmi 2x3. 曲线y = &在点（1, 1）处的切线方程是,4. d fex dx =5 .微分方程（y）3 +4xf（4） =/sinx的阶数为二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1 .下列函数（）为奇函数.A.2X cosxB.sin x + cos xC.xsinxD.e eT2-2. 当 k=()时，函数 /(x)=x2 +1, xO z c 4 .在x = o处连级.k. x = 0A.B.c.3. 函数* = 3 + 1）2在区间（2,2）是（）A. 单调增加B. 单调减少C. 先增后减D. 先减后增4. 若 J f （x）dx =

下列命题正确的是（）

A.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点
B.若x0为函数f(x)的驻点，则x0必为f(x)的极值点
C.若函数f(x)在点x0处有极值，且f'(x0)存在，则必有f'(x0)＝0
D.若函数f(x)在点x0处连续，则f'(x0)一定存在

答案：C
解析：
根据函数在点x0处取极值的必要条件的定理，可知选项C是正确的．


A.常数k＜-1
B.函数f(x)在定义域范围内，y随着x的增大而减小
C.若点C(-1，m)，点B(2，n)，在函数f(x)的图象上，则m＜n
D.函数f(x)图象对称轴的直线方程是y=x

答案：C
解析：
由图象可知常数k＞0，A项错误；当x＞0时，y随着x的增大而减小，当x＜0时，y随着x的增大而减小，B选项说法不严谨，错误；由反比例函数的公式可得，m=-k＜0，



m＜n，C正确；函数f(x)图象对称轴有两条，y=x和y=-x，D错误。

若函数y=(x)的定义域是[-1，1]，那么(2x-1)的定义域是( )

A.[0，1]
B.[-3，1)
C.[-1，1)
D.[-1，0)

答案：A
解析：
【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的定义域． 【应试指导】∵(x)的定义域为[-1，1]，
∴(2x-1)的定义域为-l≤2x-1≤1，
∴0≤x≤1，即[0，1]．

已知函数(x)=ax2+b的图像经过点(1，2)且其反函数-1(x)的图像经过点(3，0)，则函数(x)的解析式是( )

A.
B.(x)=-x2+3
C.(x)=3x2+2
D.(x)=x2+3


答案：B
解析：
【考情点拨】本题主要考查的知识点为反函数的性质． 【应试指导】∵(x)的反函数-1(x)过(3，O)，所以(x)又过点(0，3)所以有(1)=2，

若函数f(x,y)在闭区域D上连续，下列关于极值点的陈述中正确的是：

A.f(x,y)的极值点一定是f(x,y)的驻点
B.如果P0是f(x,y)的极值点，则P0点处B2-AC
C.如果P0是可微函数f(x,y)的极值点，则在P0点处df=0
D.f(x,y)的最大值点一定是f(x,y)的极大值点

答案：C
解析：
提示 在题目中只给出f(x,y)在闭区域D上连续这一条件，并未讲函数f(x,y)在P0点是否具有一阶、二阶偏导，而选项A、B判定中均利用了这个未给的条件，因而选项A、B不成立。选项D中f(x,y)的最大值点可以在D的边界曲线上取得，因而不一定是f(x,y)的极大值点，故选项D不成立。
在选项C中，给出p0是可微函数的极值点这个条件，因而f(x,y)在P0偏导存在，且

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考题 若函数f(x,y)在闭区域D上连续，下列关于极值点的陈述中正确的是（ ）。 A. f(x,y)的极值点一定是f(x,y)的驻点 B.如果P0是f(x,y)的极值点，则P0点处B2-AC) C.如果P0是可微函数f(x,y)的极值点，则P0点处df=0 D.f(x,y)的最大值点一定是f(x,y)的极大值点答案：C解析：提示：如果P0是可微函数f(x,y)的极值点，由极值存在必要条件，在P0点处有
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考题 点x=2是函数y=x（x－4）+3的（）。A、极大值点B、极小值点C、非驻点D、非极值驻点正确答案:B
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考题 下列命题中，正确的是( ).A.单调函数的导函数必定为单调函数 B.设f´(x)为单调函数，则f(x)也为单调函数 C.设f(x)在(a，b)内只有一个驻点xo，则此xo必为f(x)的极值点 D.设f(x)在(a，b)内可导且只有一个极值点xo，f´(xo)=0答案：D解析：可导函数的极值点必定是函数的驻点，故选D.
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考题 设函数,要使f(x)在点x=1处连续，则a的值是 ( )。 A. -2 B. -1 C. 0 D. 1答案：D解析：正确答案是D。 提示：要使f(x)在点x= 1处连续，则要f(x)在点x=1处左右极限存在且相等。因
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考题 函数f(x)=1/ln(x-1)的连续区间是( ).A.[1，2)U(2，+∞) B.(1，2)U(2，+∞) C.(1，+∞) D.[1，+∞)答案：B解析：f(x)=1/ln(x-1)的定义域为：x-1＞0，x-1≠1，即(1，2)∪(2，+∞).(1，2)及(2，+∞)均为f(x)的定义区间，又f(x)为初等函数，故应选B.
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