数学
单选题向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。A α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均不为零向量B α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例C α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量均不能由其余s－1个向量线性表示D α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一部分向量线性无关
题目
单选题
向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。
A
α1，α2，…，αs均不为零向量
B
α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
C
α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s－1个向量线性表示
D
α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关
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相似问题和答案
第1题：
设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则
A.当r
C.当r
C.当r
答案：D
解析：
第2题：
设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意常数k,l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2,α3线性无关的
A.A必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
答案：A
解析：
第3题：
设向量组I：α1，α2，
αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。
A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
正确答案：D
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。
第4题：
单选题
n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充要条件是（ ）。
A
存在不全为0的k1，k2，…，ks使klα1＋k2α2＋…＋ksαs≠0
B
添加向量β后，α1，α2，…，αs，β线性无关
C
去掉任一向量αi后，α1，α2，…，αi－1，αi＋1，…，αs线性无关
D
α1，α2－α1，α3－α1，…，αs－α1线性无关
正确答案：
C
解析：
D项，相当于对α1，α2，…，αs构成的矩阵作初等变换，初等变换不改变向量组的秩和向量组的线性相关性。
D项，相当于对α1，α2，…，αs构成的矩阵作初等变换，初等变换不改变向量组的秩和向量组的线性相关性。
第5题：
单选题
设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（ ）.
A
向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B
向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C
向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价
D
矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m
正确答案：
C
解析：
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．
第6题：
设a1，a2，a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组
线性无关是向量组a1，a2，a3线性无关的（ ）
线性无关是向量组a1，a2，a3线性无关的（ ）A.必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
答案：A
解析：
第7题：
设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。
A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s
答案：A
解析：
由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即
第8题：
设向量组Ⅰ
可由向量组Ⅱ
:线性表示,下列命题正确的是( )
可由向量组Ⅱ:线性表示,下列命题正确的是( )
A.若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s
B.若向量组Ⅰ线性相关,则r大于s
C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s
B.若向量组Ⅰ线性相关,则r大于s
C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s
答案：A
解析：
第9题：
单选题
n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。
A
α1，α2，…，αs中没有零向量
B
向量组的个数不大于维数，即s≤n
C
α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
D
某向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一
正确答案：
D
解析：
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。
第10题：
单选题
设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充分条件是（ ）。
A
A的列向量组线性无关
B
A的列向量组线性相关
C
A的行向量组线性无关
D
A的行向量组线性相关
正确答案：
C
解析：
因为AX＝0仅有零解的充分必要条件是A的秩r（A）＝n，所以A的列向量组线性无关是AX＝0仅有零解的充分条件。
因为AX＝0仅有零解的充分必要条件是A的秩r（A）＝n，所以A的列向量组线性无关是AX＝0仅有零解的充分条件。