研究生入学
设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,
题目
设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,
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相似问题和答案
第1题：
设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则
答案：C
解析：
第2题：
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（ ）
A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n
答案：A
解析：
第3题：
设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().
A.r>m
B.r=m
C.r
B.r=m
C.r
答案：C
解析：
显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n小于m，所以选(C).
第4题：
设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.
答案：
解析：
第5题：
设A,B是n阶矩阵，且B≠0，满足AB=0，则以下选项中错误的是：
A.r(A)+r(B)≤n B. A =0 或 B =0 C. 0≤r(A)
A.r(A)+r(B)≤n B. A =0 或 B =0 C. 0≤r(A)
答案：D
解析：
提示:根据矩阵乘积秩的性质，AB=0，有r(A)+r(B)≤n成立，选项A正确。AB=0，取矩阵的行列式， A B =0， A =0或 B =0，选项B正确。又因为B≠0，B为非零矩阵， r(B)≥1，由上式r(A) + r(B)≤n，推出0≤r(A)
第6题：
设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,则方程组BX=O与ABX=O同解的充分条件是().
A.r(A)=s
B.r(A)=m
C.r(B)=s
D.r(B)=n
B.r(A)=m
C.r(B)=s
D.r(B)=n
答案：A
解析：
设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0，因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选(A).
第7题：
设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则R（A），R（B）满足：
A.必有一个等于0
B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n
D.都等于n
B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n
D.都等于n
答案：B
解析：
提示：利用矩阵的秩的相关知识，可知A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则有 R（A）+R（B）≤n，而 A、B 已知为 n 阶非零矩阵，1≤R（A）≤n，1≤R（B）≤n，所以 R（A）、 R（B） 都小于n。
第8题：
设A,B都是,n阶矩阵,其中B是非零矩阵,且AB=O,则().
A.r(B)=n
B.r(B)
D.｜A｜=0
B.r(B)
D.｜A｜=0
答案：D
解析：
因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)小于n，于是|A|=0，选(D).
第9题：
设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则R(A)，R(B)满足：
A.必有一个等于0 B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n D.都等于n
A.必有一个等于0 B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n D.都等于n
答案：B
解析：
提示:利用矩阵的秩的相关知识，可知A、B均为n阶非零矩阵，且AB = 0，则有R(A)+ R(B)≤n，而已知为n阶非零矩阵，1≤R(A)≤n，1≤R(B)≤n，所以R(A)、R(B)都小于n。
第10题：
设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵
.证明：A可逆，且
.证明：A可逆，且答案：
解析：