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设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.

题目
设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.

参考答案和解析
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相似问题和答案

第1题：

与n阶单位矩阵E相似的矩阵是

A.
B.对角矩阵D（主对角元素不为1）
C.单位矩阵E
D.任意n阶矩阵A


答案：C
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第2题：

设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则



答案：C
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第3题：

设A为n阶对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是( ).

A.二次型xTAx的负惯性指数零

B.存在n阶矩阵C,使得A=CTC

C.A没有负特征值

D.A与单位矩阵合同


参考答案：

第4题：

设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且


答案：
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第5题：

设A为n阶实对称矩阵,下列结论不正确的是().

A.矩阵A与单位矩阵E合同
B.矩阵A的特征值都是实数
C.存在可逆矩阵P,使P^-1AP为对角阵
D.存在正交阵Q,使Q^TAQ为对角阵

答案：A
解析：
根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A).

第6题：

设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().

A.A的n个特征值都是单值
B.A是可逆矩阵
C.A存在n个线性无关的特征向量
D.A一定为n阶实对称矩阵

答案：C
解析：
矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C).

第7题：

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（ ）


A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n

答案：A
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第8题：

设A为n阶可逆矩阵，则(-A)的伴随矩阵(-A)*等于( )。

A.-A.*
B.A.*
C.(-1)nA.*
D.(-1)n-1A.*

答案：D
解析：
∵A*=|A|A~-1 ∴(-A)*=|-A|(-A)~-1=(-1)~n|A|(-1)~-1A-1 =(-1)~n-1|A|A-1=(-1)~n-1A*

第9题：

设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.


答案：
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第10题：

设A,B都是N阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是.AB=BA


答案：
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