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设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵，E是n阶单位阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关。

题目
设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵，E是n阶单位阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关。

参考答案和解析
答案：
解析：
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相似问题和答案

第1题：

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（ ）。

A.A的列向量组线性无关
B.A的列向量组线性相关
C.A的行向量组线性无关
D.A的行向量组线性相关

答案：A
解析：
n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是r（A）=n，即A的列向量组线性无关。

第2题：

设A是m×n非零矩阵，B是n×l非零矩阵，满足AB=0，以下选项中不一定成立的是：

A. A的行向量组线性相关
B. A的列向量组线性相关
C. B的行向量组线性相关
D. r（A）+r（B）≤n

答案：A
解析：
A、B为非零矩阵且AB=0，由矩阵秩的性质可知r（A）+r（B）≤n，而A、B为非零矩阵，则r（A）≥1，r（B）≥1，又因r（A）m×n的列向量相关×，1≤r（B）＜n，Bn×l的行向量相关，从而选项B、C、D均成立。

第3题：

可对角化的矩阵是____。

A.实对称阵

B.有n个相异特征值的n阶阵

C.有n个线性无关的特征向量的n阶方阵


参考答案：ABC

第4题：

设A是mxn的非零矩阵，B是nxl非零矩阵，满足AB=0，以下选项中不一定成立的是：
A. A的行向量组线性相关 B. A的列向量组线性相关
C.B的行向量组线性相关 D.r(A)+r(B)≤n


答案：A
解析：
提示:A、B为非零矩阵且AB = 0，由矩阵秩的性质可知r(A)+r(B)≤n，而A、B为非零矩阵，则r(A)≥1，r(B)≥1，又因r(A)mxn的列向量相关，1≤r(B)nxl的行向量相关，从而选项B、C、D均成立。

第5题：

设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）


A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D.矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价


答案：B
解析：

第6题：

若A是m×n矩阵，且m≠n，则当A的列向量组线性无关时，A的行向量组也线性无关


答案：错
解析：

第7题：

设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().

A.A的n个特征值都是单值
B.A是可逆矩阵
C.A存在n个线性无关的特征向量
D.A一定为n阶实对称矩阵

答案：C
解析：
矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C).

第8题：

设A为m×n阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是(64)。

A．A的列向量组线性无关

B．A的列向量组线性相关

C．A的行向量组线性无关

D．A的行向量组线性相关

A.A的列向量组线性无关

B.A的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性无关

D.A的行向量组线性相关


正确答案：A
解析：齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关

第9题：

设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　　）。

A、矩阵A的任意两个列向量线性相关
B、矩阵A的任意两个列向量线性无关
C、矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合
D、矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合

答案：D
解析：

第10题：

设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.


答案：
解析：

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