数学
问答题设向量组α1，α2，…，α5的秩为r＞0，证明:（1）α1，α2，…，α5中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组；（2）若α1，α2，…，α5中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α1，α2，…，α5的一个极大线性无关组。
题目
问答题
设向量组α1，α2，…，α5的秩为r＞0，证明:（1）α1，α2，…，α5中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组；（2）若α1，α2，…，α5中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α1，α2，…，α5的一个极大线性无关组。
参考答案和解析
正确答案：
(1)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多余r个向量的向量组必线性相关,所以
αj1,αj2,…,αjr,αi(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)
线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组.
(2)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价.等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r.又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此①是原向量组的极大线性无关组.
(1)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多余r个向量的向量组必线性相关,所以
αj1,αj2,…,αjr,αi(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)
线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组.
(2)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价.等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r.又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此①是原向量组的极大线性无关组.
解析：
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相似问题和答案
第1题：
3维向量组A：a1，a2，…，am线性无关的充分必要条件是( ).
A.对任意一组不全为0的数k1，k2，…，km，都有k1a1+k2a2+…+kmam≠0
B.向量组A中任意两个向量都线性无关
C.向量组A是正交向量组
D.
B.向量组A中任意两个向量都线性无关
C.向量组A是正交向量组
D.
答案：A
解析：
B与D是向量组线性无关的必要条件，但不是充分条件.C是向量组线性无关的充分条件，但不是必要条件.A是向量组线性无关定义的正确叙述，即不存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0.故选A.
第2题：
设矩阵
，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_________.
，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_________.答案：1、2.
解析：
因(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)，又α，α，α是三维线性无关列向量，所以(α1，α2，α3)为三阶可逆矩阵故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A)=2.
第3题：
设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.
（1）求该向量组的一个极大线性无关组；
正确答案：
第4题：
A.必定r＜s
B.向量组中任意个数小于r的部分组线性无关
C.向量组中任意r个向量线性无关
D.若s＞r则向量组中任r+l个向量必线性相关
B.向量组中任意个数小于r的部分组线性无关
C.向量组中任意r个向量线性无关
D.若s＞r则向量组中任r+l个向量必线性相关
答案：D
解析：
第5题：
设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。
A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s
答案：A
解析：
由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即
第6题：
设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则
A.当r
C.当r
C.当r
答案：D
解析：
第7题：
A.任意一个行向量均可由其它r个行向量线性表示
B.任意r个行向量均可构成极大无关量
C.任意r个行向量均线性无关
D.必有r个行向量线性无关
B.任意r个行向量均可构成极大无关量
C.任意r个行向量均线性无关
D.必有r个行向量线性无关
答案：D
解析：
第8题：
设向量组I：α1，α2，
αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。
A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
正确答案：D
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。
第9题：
设n阶方阵M的秩r(M)=r
A.任意一个行向量均可由其他r个行向量线性表示
B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组
C.任意r个行向量均线性无关
D.必有r个行向量线性无关
B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组
C.任意r个行向量均线性无关
D.必有r个行向量线性无关
答案：D
解析：
第10题：
3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．
- A、对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后
- B、向量组A中任意两个向量都线性无关
- C、向量组A是正交向量组
- D、αM不能由线性表示
正确答案:A