研究生入学
设A=,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.
题目
设A=
,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.
,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.参考答案和解析
答案：1、2
解析：
因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2.
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相似问题和答案
第1题：
已知
，P为三阶非零矩阵，且
，则
，P为三阶非零矩阵，且，则
答案：C
解析：
第2题：
设A,B都是,n阶矩阵,其中B是非零矩阵,且AB=O,则().
A.r(B)=n
B.r(B)
D.｜A｜=0
B.r(B)
D.｜A｜=0
答案：D
解析：
因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)小于n，于是|A|=0，选(D).
第3题：
设P=
,Q为三阶非零矩阵,且PQ=O,则().
,Q为三阶非零矩阵,且PQ=O,则().A.当t=6时,r(Q)=1
B.当t=6时,r(Q)=2
C.当t≠6时,r(Q)=1
D.当t≠6时,r(Q)=2
B.当t=6时,r(Q)=2
C.当t≠6时,r(Q)=1
D.当t≠6时,r(Q)=2
答案：C
解析：
因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则，r(Q)≤1，于是r(Q)=1，选(C).
第4题：
设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则R（A），R（B）满足：
A.必有一个等于0
B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n
D.都等于n
B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n
D.都等于n
答案：B
解析：
提示：利用矩阵的秩的相关知识，可知A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则有 R（A）+R（B）≤n，而 A、B 已知为 n 阶非零矩阵，1≤R（A）≤n，1≤R（B）≤n，所以 R（A）、 R（B） 都小于n。
第5题：
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（ ）
A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n
答案：A
解析：
第6题：
设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().
A.r>m
B.r=m
C.r
B.r=m
C.r
答案：C
解析：
显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n小于m，所以选(C).
第7题：
设A,B皆为n阶矩阵,则下列结论正确的是().
A.AB=O的充分必要条件是A=O或B-O
B.AB≠O的充分必要条件是A≠0且B≠0
C.AB=O且r(A)=N,则B=O
D.若AB≠0,则｜A｜≠0或｜B｜≠0
B.AB≠O的充分必要条件是A≠0且B≠0
C.AB=O且r(A)=N,则B=O
D.若AB≠0,则｜A｜≠0或｜B｜≠0
答案：C
解析：
第8题：
设
，B是三阶非零矩阵，且
，则（）.
，B是三阶非零矩阵，且，则（）.
答案：B
解析：
第9题：
设A为四阶非零矩阵,且r(A^*)=1,则().
A.r(A)=1
B.r(A)=2
C.r(A)=3
D.r(A)=4
B.r(A)=2
C.r(A)=3
D.r(A)=4
答案：C
解析：
因为r(A^*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C).
第10题：
设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则R(A)，R(B)满足：
A.必有一个等于0 B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n D.都等于n
A.必有一个等于0 B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n D.都等于n
答案：B
解析：
提示:利用矩阵的秩的相关知识，可知A、B均为n阶非零矩阵，且AB = 0，则有R(A)+ R(B)≤n，而已知为n阶非零矩阵，1≤R(A)≤n，1≤R(B)≤n，所以R(A)、R(B)都小于n。