公共基础
单选题若使向量组a1=(6,t,7)T,a2=(4,2,2)T,a3=(4,1,0)T线性相关。则t等于（ ）A-5B5C-2D2
题目
单选题
若使向量组a1=(6,t,7)T,a2=(4,2,2)T,a3=(4,1,0)T线性相关。则t等于（ ）
A
-5
B
5
C
-2
D
2
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相似问题和答案
第1题：
设向量组A：a1=(1，0，5，2)，a2=(-2，1，-4，1)，a3=(-1，1，t，3)，a4=(-2，1，-4，1)线性相关，则t必定等于( ).
A.1
B.2
C.3
D.任意数
B.2
C.3
D.任意数
答案：D
解析：
第2题：
若使向量组α1=（6，t，7）T，α2=（4，2，2）T，α3=（4，1，0）T线性相关，则t等于（ ）。
A、 -5
B、 5
C、 -2
D、 2
B、 5
C、 -2
D、 2
答案：B
解析：
α1、α2、α3三个列向量线性相关，则由三个向量组成的行列式对应的值为零，即
解得：t=5。
解得：t=5。
第3题：
设向量组A：a1=(1，-1，0)，a2=(2，1，t)，a3=(0，1，1)线性相关，则t等于( ).
A.1
B.2
C.3
D.0
B.2
C.3
D.0
答案：C
解析：
第4题：
已知向量组a1==(3,2,-5)T，a2= (3,-1,3)T，a3 = (1,-1/3,1)T，a4 =(6,-2,6)T，则该向量组的一个极大线性无关组是：
A.a2,a4
B.a3,a4
C.a1,a2
D.a2,a3
B.a3,a4
C.a1,a2
D.a2,a3
答案：C
解析：
第5题：
设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置.证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)<2.
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)<2.
答案：
解析：
【证明】(Ⅰ)因为α，β为三维列向量，那么αα^T和ββ^T都是三阶矩阵，
且秩r(αα^T)≤1，r(ββ^T)≤1.
那么，r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2.
(Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ，于是
r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r((1+k^2)ββ^T)≤r(β)≤1<2.
【评注】本题考查矩阵秩的性质公式.
(Ⅰ)中有两个基本知识点：①r(αα^T)≤1和②r(A+B)≤r(A)+r(B).
(Ⅱ)中有两个基本知识点：①α，β线性相关的几何意义和②r(kA)=r(A)，k≠0.
注意，如果分块矩阵比较熟悉，本题的(Ⅰ)也可如下处理：
因为
那么
从而r(A)≤2.
且秩r(αα^T)≤1，r(ββ^T)≤1.
那么，r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2.
(Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ，于是
r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r((1+k^2)ββ^T)≤r(β)≤1<2.
【评注】本题考查矩阵秩的性质公式.
(Ⅰ)中有两个基本知识点：①r(αα^T)≤1和②r(A+B)≤r(A)+r(B).
(Ⅱ)中有两个基本知识点：①α，β线性相关的几何意义和②r(kA)=r(A)，k≠0.
注意，如果分块矩阵比较熟悉，本题的(Ⅰ)也可如下处理：
因为
那么
从而r(A)≤2.
第6题：
A. a1=(1,1,1,0)T,a2=(-1,-1,1,0)T
B. a1=(2,1,0,1)T,a2=(-1,-1,1,0)T
C. a1=(1,1,1,0)T,a2=(-1,0,0,0)T
D.a1=(2,1,0,1)T,a2=(-2,-1,0,1)T
答案：C
解析：
提示:对方程组的系数矩阵进行初等行变换，得到方程组的同解方程组
当x3=1，x4=0 时，得x1=1，x2=1；当x3=0，x4=1时，得x1=-1，x2=0，写成基础解系ξ1，ξ2。
当x3=1，x4=0 时，得x1=1，x2=1；当x3=0，x4=1时，得x1=-1，x2=0，写成基础解系ξ1，ξ2。
第7题：
设A是三阶矩阵，a1(1,0,1)T，a2(1,1,0)T是A的属于特征值1的特征向量，a3(0,1,2)T是A的属于特征值-1的特征向量，则：
A.a1-a2是A的属于特征值1的特征向量
B.a1-a3是A的属于特征值1的特征向量
C.a1-a3是A的属于特征值2的特征向量
D. a1+a2+a3是A的属于特征值1的特征向量
A.a1-a2是A的属于特征值1的特征向量
B.a1-a3是A的属于特征值1的特征向量
C.a1-a3是A的属于特征值2的特征向量
D. a1+a2+a3是A的属于特征值1的特征向量
答案：A
解析：
提示：已知a1,a2是矩阵A属于特征值1的特征向量，即有Aa1=1*a1,Aa2=1*a2成立，则A(a1-a2)=1*(a1-a2)，a1-a2为非零向量，因此a1-a2是A属于特征值1的特征向量。
第8题：
设向量组A：a1=(t，1，1)，a2=(1，t，1)，a3=(1，1，t)的秩为2，则t等于( ).
A.1
B.-2
C.1或-2
D.任意数
B.-2
C.1或-2
D.任意数
答案：B
解析：
第9题：
A. a1=(1,1,1,0)T,a2=(-1,-1,1,0)T
B. a1=(2,1,0,1)T,a2=(-1,-1,1,0)T
C. a1=(1,1,1,0)T,a2=(-1,0,0,0)T
D. a1=(2,1,0,1)T,a2=(-2,-1,0,1)T
B. a1=(2,1,0,1)T,a2=(-1,-1,1,0)T
C. a1=(1,1,1,0)T,a2=(-1,0,0,0)T
D. a1=(2,1,0,1)T,a2=(-2,-1,0,1)T
答案：C
解析：
提示:对方程组的系数矩阵进行初等行变换，得到方程组的同解方程组
当x3=1，x4=0 时，得x1=1，x2=1；当x3=0，x4=1时，得x1=-1，x2=0，写成基础解系ξ1，ξ2。
当x3=1，x4=0 时，得x1=1，x2=1；当x3=0，x4=1时，得x1=-1，x2=0，写成基础解系ξ1，ξ2。
第10题：
在线性空间R3中，已知向量a1=(1，2，1)，a2=(2，1，4)，a3=(0，-3，2)，
记V1={λa1+μa2|λ，μ∈R}，V2={ka3|k∈R}。
令V3={t1η1+t2η2|t1，t2∈R，η1∈V1，η2∈V2}。
(1)求子空间V3的维数；
(2)求子空间V3的一组标准正交基。
记V1={λa1+μa2|λ，μ∈R}，V2={ka3|k∈R}。
令V3={t1η1+t2η2|t1，t2∈R，η1∈V1，η2∈V2}。
(1)求子空间V3的维数；
(2)求子空间V3的一组标准正交基。
答案：
解析：