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设n阶矩阵A 满足，其中s≠t，证明A可对角化
题目
设n阶矩阵A 满足
，其中s≠t，证明A可对角化
，其中s≠t，证明A可对角化参考答案和解析
答案：
解析：
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相似问题和答案
第1题：
设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵.证明：.
答案：
解析：
第2题：
设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵
.证明：A可逆，且
.证明：A可逆，且答案：
解析：
第3题：
可对角化的矩阵是____。
A.实对称阵
B.有n个相异特征值的n阶阵
C.有n个线性无关的特征向量的n阶方阵
参考答案：ABC
第4题：
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足
，求 ①二次型
的标准形； ②行列式
的值，其中E为单位矩阵
，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵答案：
解析：
第5题：
设A是n阶正定矩阵,证明:｜E+A｜>1.
答案：
解析：
第6题：
设矩阵
是4阶非零矩阵, 且满足
证明矩阵B的秩
是4阶非零矩阵, 且满足证明矩阵B的秩答案：
解析：
第7题：
设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.
答案：
解析：
【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
(1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
(2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.
|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
(1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
(2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.
第8题：
设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.
答案：
解析：
第9题：
设A,B都是N阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是.AB=BA
答案：
解析：
第10题：
设Α是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明ΑB可对角化
答案：
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