研究生入学
设，E为3阶单位矩阵（1）求方程组的一个基础解系； （2）求满足的所有矩阵B
题目
设
，E为3阶单位矩阵（1）求方程组
的一个基础解系； （2）求满足
的所有矩阵B
，E为3阶单位矩阵（1）求方程组的一个基础解系； （2）求满足的所有矩阵B
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相似问题和答案
第1题：
已知矩阵
.
，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是三阶单位矩阵，求X.
.，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是三阶单位矩阵，求X.答案：
解析：
【解】化简矩阵方程，有AX(A-B)+BX(B-A)=E，即(A-B)X(A-B)=E.
由于
，所以矩阵A-B可逆，且
于是.
由于
，所以矩阵A-B可逆，且于是.第2题：
设(Ⅰ)
,(Ⅱ)
(1)求(Ⅰ),(Ⅱ)的基础解系；(2)求(Ⅰ),(Ⅱ)的公共解.
,(Ⅱ)
(1)求(Ⅰ),(Ⅱ)的基础解系；(2)求(Ⅰ),(Ⅱ)的公共解.
答案：
解析：
第3题：
设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是().
A.矩阵A不可逆
B.矩阵A的迹为零
C.特征值-1,1对应的特征向量正交
D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量
B.矩阵A的迹为零
C.特征值-1,1对应的特征向量正交
D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量
答案：C
解析：
由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得|A|=0，则r(A)小于3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，所以选(C).
第4题：
设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)为
，(Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解
，(Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解答案：
解析：
第5题：
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足
，求 ①二次型
的标准形； ②行列式
的值，其中E为单位矩阵
，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵答案：
解析：
第6题：
求齐次线性方程组
的基础解系
的基础解系答案：
解析：
第7题：
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量
都是齐次线性方程组AX=0的解.① 求A的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q和对角矩阵
都是齐次线性方程组AX=0的解.① 求A的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q和对角矩阵答案：
解析：
第8题：
设n阶矩阵A的伴随矩阵A^*≠0，若ζ1，ζ2，ζ3，ζ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系
A.不存在.
B.仅含一个非零解向量.
C.含有两个线性无关的解向量.
D.含有三个线性无关的解向量.
B.仅含一个非零解向量.
C.含有两个线性无关的解向量.
D.含有三个线性无关的解向量.
答案：B
解析：
第9题：
设n阶矩阵A满足
，（1）证明A，A+2E，A+4E可逆，并求它们的逆；（2）当
时，判断
是否可逆，并说明理由。
，（1）证明A，A+2E，A+4E可逆，并求它们的逆；（2）当时，判断是否可逆，并说明理由。答案：
解析：
第10题：
求方程组
的一个基础解系和通解。
的一个基础解系和通解。答案：
解析：