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弹性力学试题与答案20220730.docx
A、应力
B、形变
C、位移
D、破坏
A、平衡微分方程
B、应力协调方程
C、应力边界条件
D、位移边界条件
此题为判断题(对，错)。
A.没有考虑面力边界条件
B.没有讨论多连域的变形
C.没有涉及材料本构关系
D.没有考虑材料的变形对于应力状态的影响
下列关于圣维南原理叙述正确的是()。
A、圣维南原理表明：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力(主矢与主矩相同)，则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
B、圣维南原理可将次要边界上复杂的面力(集中力、集中力偶等)作分布的面力代替。
C、圣维南原理可将将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
D、应用圣维南原理应注意绝不能离开“静力等效”的条件。
考试资料弹性力学试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程,应力边界条件。组可能的应力分量应满足：平衡微分方程,相容方程（变形协调条件）。等截面直杆扭转问题中，2口申dxdy=M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆D截面内的扭矩M。平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数9在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：1b+X=0,=（u+u）。*/*ij,jiij2i,jj,i二、简述题（每小题6分）试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2.图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数9的分离变量形式。题二（2）图a)9(x,y)=ax2+bxy+cy29(r,0)=r2f(0)9(x,y)=ax3+bx2y+cxy2+dy39(r,0)=r3f(0)3.图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比卩已知。试求薄板面积的改变量AS。题二(3)图设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为Al。由=(1-R)q得,q、；a2+b2,Al=E、：a2+b2=(1Li)E设板在力P作用下的面积改变为AS，由功的互等定理有：q-AS=PAl将Al代入得：1iniAS=P、a2+b2E显然，AS与板的形状无关，仅与E、n、l有关。4.图示曲杆，在r=b边界上作用有均布拉应力q,在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件(除固定端外)。l7l题二(4)图1)r=br0r=b=0；3)=0,r=ar0r=arJbQdr=Pcos00a=0btdr=Psin0r0ardr=-卩COS0呼fbQ0a伽辽金Galerkin)位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思试简述拉甫(Love)位移函数法、想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：(1)变求多个位移函数u(x,y),v(x,y),w(x,y)或u(r,0),u(r,0)为求一些特殊函数，如调和函r0数、重调和函数。2)变求多个函数为求单个函数(特殊函数)。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1.图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P,设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为申=Asin20+B0）（13分）题三（1）图解：d很小，M=Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数申（r,0）代入，可求得应力分量:Asin20；r2c0dr2Tr01竺、dr(rd0丿丄(2Acos20+B)r2边界条件：（1）c00=0二0，Tr00=0二0；r丸r丸代入应力分量式，有丄（2A+B）=0或r2|0=兀0，Tr0r丸2A+B=0(1)（2）取一半径为厂的半圆为脱离体，边界上受有：c,T0，和M=Pdrr0由该脱离体的平衡，得J2Tr2d0+M=0r0-2将T旧代入并积分，有J2丄(2Acos20+B)r2d0+M=0_哥r22Asin20+B2+M=0得B兀+M=0(2)_K-2联立式(1)、(2)求得：dMPdAPd兀兀2代入应力分量式，得2Pdsin20；二o；t=-2Pdsie兀丫20r。兀r2结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力G由材料力学公式给出，试由平衡微分方程x求出T，G，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。xyy12分）题三（2）图解：（1）求横截面上正应力Gx任意截面的弯矩为M=-笔x3，截面惯性矩为I=h，由材料力学计算公式有6l12My2qg=ox3yxIIh31)（2）由平衡微分方程求t、gxyydG平衡微分方程：Qt壬+宁+X=0dxdyQtQG牛+斗+Y=0dxdy(2)(3)其中，X=0,Y=0。将式（1）代入式（2），有dtlh3txy积分上式，得=4x2y2+f(x)Ih31利用边界条件：xyy=热x2h2+3=0即f1(x)4x2h24lh3TxyX2(y2-4h2)4)QbyQy一祭x(y2-4h2)将式（4）代入式（3），有6qiQb曲X(y2-422U二0积分得谒-422y“f2(x)利用边界条件：hy=-2q=-tx二0丄2y=+2得：-x(-23+4h3)+f(x)Ih3248丿丿2、丿-6q0 x(hl-1h3)+f(x)=0Ih3248丿V丿由第二式，得将其代入第一式，f2（x）一护得qqq-椚-屮一于x自然成立。将小）代入y的表达式有by=-將班-4h2y)-2lx5)所求应力分量的结果：My0 x3yIh3Txyqox2(y2-1h2)lh34)6）by=-將班号-4h2y)-2lx校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x=0）：J2b-hx-2（2）梁右端的边界（x=l）：dy=0,x=0J2T-hxy-2dy=0 x=0代入后可见：自然满足。卜2b-h-2xx=ld卜2qdy=J2-hlh32dy=0 x=lxyx=lh3qx2dy=J20-hlh32（y2-竽）dyql=0-2x=l卜2b-h-2h2qx3ydy=J20y2xx=l-hlh3dy=-2ql303lh3x=l可见，所有边界条件均满足。检验应力分量b,T,b是否满足应力相容方程:xxyy常体力下的应力相容方程为V2（b+b）=（娶+学）（b+b）=0 xyex2oy2xy将应力分量b，T,b式(6)代入应力相容方程，有xxyy西（b0 x2x12qlh孚（b+b）=Oy2xy12qlhV2（b+b）=（西+-）（b+b）=-24q0 xy丰0 xyOx2Oy2xylh3显然，应力分量b,T,b不满足应力相容方程，因而式(6)并不是该该问题的正确解。xxyy端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为1，抗弯刚度EI为常数，、梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：(1)构造两种形式(多项式、三角函数)的梁挠度试函数w(x)；(2)用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解(取1项待定系数)。13分）题二(3)图解：两种形式的梁挠度试函数可取为w(x)=x2(A+Ax+Ax2+)123多项式函数形式n*2m兀x、-,w(x)=A(1-cos)三角函数形式mlm=1此时有：w(x)=x2(A+Ax+Ax2+)123=0 x=0wf(x)=2x(A+Ax+Ax2+123)+x2(A+Ax+3)|=0 x=0n2m兀xw(x)=乙A(1-cos-)mm=1x=0w，(x)=工Alm2、m兀m=1即满足梁的端部边界条件梁的总势能为.2m兀xsinl=0 x=0n=2J0EId2wdx2丿2dx-lqw(x)dx+02取w(x)=A1x2,有d2w盂=2Aw(l)=Al21代入总势能计算式，有n=lEI(2A)2dx-Jlqx2Adx+k(A12)22010121=2EIlA2-1由sn=o，有4EIlAi+叫4-313=0A=也13(4Ell+kl4)代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为ql3w(x)=0 x23(4Ell+kl4)4.已知受力物体内某一点的应力分量为:b=0,b=2MPa,b=IMPa,=IMPa,=0,xyzxyyze二2MPa,试求经过该点的平面x+
A .几何上等效
B .静力上等效
C .平衡
D .任意
A.平截面假设
B.切应力互等定理
C.圣维南原理
D.各向同性假设
A.体力
B.面力
C.应力
D.应变
E.位移
A、静力学基本原理揭示了力的基本性质，是静力学的基础
B、作用与反作用原理说明了物体间相互作用的关系
C、二力平衡原理说明了作用在一个刚体上的两个力的平衡条件
D、力的平行四边形法则是力系等效代换的基础
E、加减平衡力系原理反映了两个力合成的规律
A、作用与反作用公理
B、两力平衡公理
C、三力平衡原理
D、力的合成与分解原理