研究生入学
是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。
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相似问题和答案
第1题：
下列矩阵中不能相似对角化的为（ ）。
答案：B
解析：
选项A中矩阵的特征值为1，3，-3，是3个单特征值，可相似对角化；选项C中矩阵的特征值为0，1，3，也是3个单特征值，可相似对角化；设选项D中的矩阵为D，则其特征值为0，0，3，且r（0E-D）=1，即3-r（0E-D）=2，故D可相似对角化。设选项B中的矩阵为B，则其特征值为0，0，3，且r（OE-B）=2，3-r（OE-B）-1≠2，故不可相似对角化。故选B。
第2题：
下列矩阵中不能对角化的是( )。
A.
B.
C.
D.
B.
C.
D.
答案：C
解析：
第3题：
可对角化的矩阵是____。
A.实对称阵
B.有n个相异特征值的n阶阵
C.有n个线性无关的特征向量的n阶方阵
参考答案：ABC
第4题：
已知3阶矩阵
有一个二重特征值，求a，并讨论A可否对角化。
有一个二重特征值，求a，并讨论A可否对角化。答案：
解析：
第5题：
，求正交矩阵T，使
为对角矩阵.答案：
解析：
第6题：
A.A是对称矩阵
B.A是实矩阵
C.A有正特征值
D.A不能对角化
B.A是实矩阵
C.A有正特征值
D.A不能对角化
答案：D
解析：
第7题：
设矩阵
可相似对角化,求x
可相似对角化,求x答案：
解析：
第8题：
若矩阵A可逆,则AB与BA相似。()
此题为判断题(对，错)。
参考答案：正确
第9题：
设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.
答案：
解析：
【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
(1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
(2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.
|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
(1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
(2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.
第10题：
设矩阵
的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论A是否可相似对角化
的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论A是否可相似对角化答案：
解析：