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2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试题835
A.对称矩阵
B.可逆矩阵
C.n阶矩阵的转置矩阵
D.线性方程组的系数矩阵
的解,则k=_______,｜B｜=_______.
，因为B的列向量为方程组的解且B≠0，所以AB=0且方程组有非零解，故|A|=0，解得k=1.因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2小于3，故|B|=0.
1、k(1，-2，1)^T，k为任意常数
(Ⅰ)证明r(A)=2；
(Ⅱ)若β=α1，α2，α3，求方程组Ax=β的通解.
1 页 共 2 页 电子科技大学电子科技大学 2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：考试科目：835 线性代数线性代数 注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。 1. (15 分) 计算 5 阶行列式55300025300025300025300025D =. 2. (15 分) 设213342Aabc=, 如果 3 阶矩阵B 的伴随矩阵*BO且 ABO=, 求 A. 3. (15 分) 已知 4 阶方阵()1234,A =, 线性方程组 AX=的通解为21110230k + , 其中 k 为任意常数. 试问: 4 能否由123, 线性表出? 为什么? 4. (15 分) 设 A 是 3 阶方阵, 3 维列向量组2,AA 线性无关, 且3232AAA=. 证明矩阵()4,BAA=可逆. 5. (20 分) 设3 3R是实数域上所有n阶方阵关于方阵的加法和数乘所成线性空间, 123312123231,aaaVaaaa a aaaa=R , 3 3TWAAA= R. (1) 分别写出 V 和 W 的维数和一组基(不用写求解过程); (2) 求 VWI的一组基. 第 2 页 共 2 页 6. (20 分) 设112211aAaa=. (1) 求 A 的特征值与特征向量; (2) 讨论 A 何时可以相似对角化. 7. (15 分) 设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间, A 是 V 上的线性变换, 证明: A 在 V 的两组不同基下的矩阵是相似的. 8. (15 分) 设()span,V =是欧氏空间4R(关于标准内积)的子空间, 其中 ()()1, 2,1,1 ,2, 0, 0,1= . (1) 求正交补V的一组标准正交基; (2) 证明: 不存在正交变换 A 使得=A. 9. (20 分) 设 3 元实二次型()Tf XX AX=的秩为 2, 且满足条件22AAO+=. (1) ()10f X + =表示什么二次曲面? 为什么? (2) 当 k 满足什么条件时, 二次型()()222123f Xk xxx+正定?
，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_________.
.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵A
都是齐次线性方程组AX=0的解.① 求A的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q和对角矩阵
为三维线性无关列向量组，且有
求 （I）求A的全部特征值（II）A是否可以对角化？